Metodi matematici e numerici
MAT/05
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Il corso si propone di fornire gli elementi base per l’analisi numerica al fine di risolvere problemi complessi non risolubili esattamente. Lo scopo dell’analisi numerica e’ quello di generare algoritmi capaci di risolvere un problema matematico nel minor tempo possibile e con la massima accuratezza, grazie alla possibilita’ di implementare tali algoritmi al computer. Si iniziera’ quindi con il descrivere l’origine, la propagazione e la valutazione degli errori ed il concetto di stabilita’ di un algoritmo. Si passera’ poi ad esaminare gli algoritmi che consentono di localizzare prima e poi calcolare le radici approssimate di una equazione algebrica o trascendente. Si introdurranno le tecniche base per il problema dell’interpolazione numerica, per poi passare alle tecniche base dell’integrazione di integrali numerici. Infine, si esporranno le tecniche per l’integrazione numerica di equazioni differenziali ordinarie. Al fine di sottolineare la potenza di calcolo insita negli algoritmi presentati, il corso presenta delle applicazioni dei metodi numerici a problemi reali di natura ingegneristica.
Il corso di Metodi Matematici e Numerici fornisce gli elementi teorici essenziali che consentono agli studenti di affrontare le varie problematiche inerenti al calcolo numerico. L’ obiettivo principale dell’insegnamento consiste quindi nel fornire agli studenti gli strumenti teorici che consentono di trovare soluzioni numerici a problemi non risolubili esattamente.Le principali conoscenze acquisite (Descrittore di Dublino 1) riguardano come prima cosa la comprensione del problema generale dell’analisi numerica, la definizione di stabilita’ di un algoritmo ed il concetto di origine e propagazione dell’errore. Lo studente dovra’ poi conoscere gli algoritmi che consentono la localizzazione delle soluzioni di una equazione algebrica e i teoremi che forniscono condizioni sufficienti (criteri) per l’unicita’ di una soluzione in un intervallo dato. Lo studente dovra’ poi acquisire le conoscenze teoriche inerenti il problema dell’interpolazione numerica, strumento essenziale in molti campi delle scienze applicate ed ingegneristiche. Conoscenze teoriche vengono anche fornite al fine del calcolo approssimato di integrali, utile in molti problemi ingegneristici. Infine, si daranno le nozioni fondamentali inerenti all’integrazione numerica di equazioni differenziali ordinarie, strumento fondamentale praticamente in tutte le scienze pure ed applicate.Le principali abilità acquisite (capacità di applicare le conoscenze acquisite, Descrittore di Dublino 2) si concretizzano nel fatto che gli studenti saranno in grado di mettere in pratica le conoscenze teoriche al fine di risolvere problemi pratici. Gli studenti saranno in grado quindi di calcolare la stabilita’ di un algoritmo, di stabilire l’esistenza e l’unicita’ della soluzione di una equazione algebrica in un dato intervallo. Potranno calcolare il polinomio interpolante i punti sperimentali dati e la retta o il polinomio di regressione lineare. Potranno altresi approssimare una funzione tramite splines, lineari, quadratiche e cubiche. Gli algoritmi studiati per l’approssimazione di integrali numerici permetteranno allo studente di approssimare le aree di superfici piane. Con le tecniche di integrazione, lo studente potra’ integrare numericamente qualunque tipo di equazione ordinaria, stimando l’errore di approssimazione commesso. Infine, in relazione alle capacita’ di apprendimento, lo studente alla fine del corso sara’ in grado di interpretare i dati al fine di giudicare autonomamente le ipotesi semplificative adottate nello svolgimento dello stesso e giudicare quale algoritmo e’ piu’ efficace al fine di risolvere un dato problema pratico, acquisendo quindi elementi culturali che aiutano ai processi di maturazione ed indipendenza anche in altre discipline (descrittori di Dublino 3,4,5) . Tali elementi sono essenziali per la formazione di qualunque professionista.
Per meglio affrontare gli argomenti del corso lo studente deve padroneggiare gli strumenti acquisiti nel corso di matematica 1 (studio di funzione, calcolo differenziale, integrazione) e sapere le basi per l’integrazione di equazioni differenziali ordinarie.
1. Soluzioni esatte e soluzioni numeriche di un problema, cenni a origine, propagazione e valutazione degli errori. Problemi fondamentali dell’analisi numerica: radici approssimate di un’equazione sia numerica che differenziale, approssimazione di una funzione, misura approssimata di un’area. Numero macchina e limiti di rappresentazione per un computer.2. Problema della risoluzione approssimata di equazioni algebriche o trascendenti. Esistenza ed unicita’ delle soluzioni: problema della separazione delle radici. Calcolo di soluzioni approssimate: individuazione dei diversi metodi applicabili.3. Richiami sulle possibili soluzioni di una equazione algebrica. Algoritmo di Sturm per l’ndividuazione delle soluzioni reali. Localizzazione delle soluzioni: teorema di Sturm; Teorema localizzazione di Mc Laurin; Teorema di localizzazione di Laguerre. Confronto critico dei teoremi mediante loro applicazione nella localizzazione delle soluzioni reali di equazioni date.4. Metodi numerici chiusi per la determinazione di soluzioni approssimate di equazioni algebriche e trascendenti. Determinazione di soluzioni approssimate di un’equazione applicando: il metodo di bisezione; il metodo del punto unito; il metodo delle secanti: il metodo delle tangenti.5. Confronto tra i diversi metodi per la risoluzione approssimata delle equazioni, circa l’accuratezza dei risultati ottenuti e la loro velocita’ di convergenza. Applicazioni in campo ingegneristico dei metodi numerici introdotti.6. Metodi diretti per sistemi lineari. Metodo di Gauss. Metodo di fattorizzazione di Gauss. Condizionamento di un sistema lineare.7. Metodi indiretti per sistemi lineari. Metodo di Jacobi. Metodo di Gauss-Seidel. Sistemi di equazioni non lineari.8. Fitting dei dati e di funzioni: generalita'. Problema della deduzione dell’andamento complessivo di un fenomeno da alcuni dati noti. Determinazione di una funzione che passi per alcuni punti noti (interpolazione), oppure determinazione di una funzione che passi fra i punti assegnati (regressione). Tecniche di interpolazione piu’ comuni ed approfondimento dell’interpolazione lineare e di quella polinomiale con gli algoritmi di Lagrange e Newton. Confronto tra l’algoritmo di Newton e quello di Lagrange. Interpolazione di punti assegnati mediante spline lineari, quadratiche o cubiche.9. Tecniche di regressione per l’individuazione della funzione che meglio approssima l’andamento dei dati disponibili. Sviluppo in una base di funzioni ortonormali completa: funzioni a quadrato sommabile e loro importanza: uguaglianza di Parseval. Regressione lineare e minimi quadrati: significato e formule per la sua determinazione. Applicazione della regressione lineare. Applicazione delle tecniche numeriche utilizzabili per il fitting di dati ed analisi critica dei risultati ottenuti. Applicazione dell’interpolazione e della regressione a problemi pratici di natura ingegneristica.10. Distribuzione dei nodi nell'interpolazione: teoremi di Faber. Polinomi interpolanti di Chebychev e nodi non equispaziati di Chebychev: teorema di Bernstein. Funzione di Runge. 11. Significato dell’integrazione numerica e sua applicazione al calcolo di aree. Formule di quadratura di Newton-Cotes. Quadrature Gaussiane e loro grado massimo di precisione. Classificazione dei metodi di integrazione numerica. Integrazione numerica con il metodo dei rettangoli, dei trapezi, si Simpson ed approfondimento del metodo delle parabole. Stima dell’errore di approssimazione ed esempi di integrazione numerica con il metodo delle parabole. Confronto tra i vari metodi presentati circa l’accuratezza dei risultati ottenuti e la rapidita’ di calcolo. Applicazioni in campo ingegneristico dei metodi di integrazioni presentati.12. Trasformata di Fourier continua e sue proprieta'. Modulazione e campionamento. Spettro di Fourier e applicazioni per la manipolazione di immagini13. Trasformata di Fourier discreta e sua anti trasformata. Algoritmo della FFT. Applicazioni pratiche della DFT: l'algoritmo di Huffmann (cenni)14. Problema dell’esistenza ed unicita’ della soluzione per equazioni differenziali ordinarie. Problema del calcolo della soluzione per un’ equazione differenziale ordinaria del primo ordine ai valori iniziali: metodi numerici applicabili e loro classificazione. I metodi one-step: metodi di Eulero, metodi di Cranck-Nicolson e metodi di Runge-Kutta. Caratteristiche specifiche ed applicabilita’ dei metodi ad un passo introdotti. Consistenza e stabilita': teorema di Lax.15. Risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie con i metodi multistep. Consistenza dei merodi Multistep. Stabilita': metodo delle radici e teorema sulla convergenza. Cenni ai metodi Predictor-Corrector per la risoluzione di equazioni differenziali ordinarie. Cenni ai metodi di risoluzione approssimata con la serie di potenze. Introduzione allo studio dei sistemi di equazioni differenziali. Applicazioni del metodo di Eulero esplicito per la soluzione di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine e conmfronto con gli altri metodi.
Le attività didattiche si articolano in didattica erogativa e didattica interattiva.Per quanto riguarda la didattica erogativa, l'insegnamento prevede, per ciascun CFU, 5 ore di Didattica Erogativa, costituite da 2,5 videolezioni (tenendo conto delle necessità di riascolto da parte dello studente). Ciascuna videolezione esplicita i propri obiettivi e argomenti, ed è corredata da materiale testuale in formato .pdf. Le videolezioni riguardano in particolare sia argomenti di teoria sia numerose applicazioni numeriche. Le applicazioni numeriche sono essenziali ai fini di testare la comprensione effettiva degli algoritmi presentati nella parte teorica del corso. In particolare, gli esempi numerici mutuati da problemi reali in campo ingegneristico o multidisciplinare consentono allo studente non solo di applicare gli algoritmi studiati, ma anche di vedere la loro relazione con la modellizzazione scelta per descrivere una situazione mutuata dal mondo reale. Capire la relazione tra modellizzazione ed algoritmo usato rappresenta un utile esercizio che non puo’ mancare nel bagaglio tecnico di un ingegnere.Per quanto riguarda la didattica interattiva, l’'insegnamento segue quanto previsto dalle Linee Guida di Ateneo sulla Didattica Interattiva e l'interazione didattica, e propone, per ciascun CFU, 1 ora di Didattica Interattiva dedicata alle seguenti attività: lettura area FAQ, partecipazione ad e-tivity strutturata costituita da attività finalizzate alla restituzione di un feedback formativo e interazioni sincrone dedicate a tale restituzione. Sono a tal proposito previste aule virtuali di due ore che consentono una interazione sincrona con lo studente. In particolare, il docente con le aule virtuali, potra’ rendicontare agli studenti, attraverso gli esami fatti, i test di verifica ed autovalutazione, quali sono i maggiori punti di sofferenza nella loro preparazione, per poter quindi intervenire su specifiche tematiche con ulteriori spiegazioni ed esercizi pratici.
L’esame si svolge in forma scritta. La prova ha una durata di 120 minuti e, durante lo svolgimento della stessa è consentito esclusivamente l’uso di una calcolatrice non programmabile e del testo della normativa fornita direttamente dalla commissione d’esame.La prova è costituta fondamentalmente da due esercizi sugli argomenti svolti durante il corso. Ogni esercizio e’ strutturato a sua volta in due parte. Una prima parte, meramente teorica ((descrittore di Dublino 1), richiede agli studenti di dissertare su algoritmi e teoremi che saranno poi applicati con un esempio pratico. Ciò consente di verificare sia la preparazione teorica sia la capacità di comunicazione dell'allievo con proprietà di linguaggio ed organizzazione autonoma dell'esposizione sugli argomenti trattati nel corso. Nella seconda parte viene proposto allo studente un esercizio numerico (descrittore di Dublino 2) con il quale si testa la capacita’’ dell’allievo di applicare gli algoritmi a problemi concreti ed anche (descrittori di Dublino 3,4,5) di interpretare i dati al fine di giudicare autonomamente le ipotesi semplificative adottate nello svolgimento dello stesso.
Sono previste prove di verifica e di autoverifica intermedie erogate in modalità distance learning che riguardano lo svolgimento di test di autoapprendimento.Sebbene le prove di verifica e di autoverifica intermedie non contribuiscono alla formulazione del giudizio finale e non sono obbligatorie ai fini del sostenimento della prova d´esame, la quale deve essere svolta in presenza dello studente davanti ad apposita Commissione ai sensi dell´art. 11 c.7 lett.e) del DM 270/2004, esse sono da considerarsi altamente consigliate e utili ai fini della preparazione e dello studio individuale. Infatti, la prova finale e le prove di verifica e di autoverifica intermedie consentono nel loro insieme di accertare la capacità di conoscenza e comprensione (Desrittore di Dublino 1), la capacità di applicare le competenze acquisite (Descrittore di Dublino 2), la capacità di esposizione, la capacità di apprendere e di elaborare soluzioni in autonomia di giudizio (Descrittori di Dublino 3,4,5). Le aule virtuali sono un utile strumento sincrono con il quale lo studente puo' confrontare e verificare le proprie tecniche di risoluzione dei problemi con il supporto del docente, correggendo quindi possibili carenze ed incomprensioni degli argomenti d'esame. Infine, con lo strumento del ricevimento, lo studente puo' confrontarsi direttamente con il docente e verificare il prorpio grado di apprendimento.L’esame si svolge in forma scritta. La prova ha una durata di 120 minuti e, durante lo svolgimento della stessa è consentito esclusivamente l’uso di una calcolatrice non programmabile e del testo della normativa fornita direttamente dalla commissione d’esame.La prova è costituta fondamentalmente da due esercizi sugli argomenti svolti durante il corso. Ogni esercizio e’ strutturato a sua volta in due parte. Una prima parte, meramente teorica ((descrittore di Dublino 1), richiede agli studenti di dissertare su algoritmi e teoremi che saranno poi applicati con un esempio pratico. Ciò consente di verificare sia la preparazione teorica sia la capacità di comunicazione dell'allievo con proprietà di linguaggio ed organizzazione autonoma dell'esposizione sugli argomenti trattati nel corso. Nella seconda parte viene proposto allo studente un esercizio numerico (descrittore di Dublino 2) con il quale si testa la capacita’’ dell’allievo di applicare gli algoritmi a problemi concreti ed anche (descrittori di Dublino 3,4,5) di interpretare i dati al fine di giudicare autonomamente le ipotesi semplificative adottate nello svolgimento dello stesso.
Oltre alle lezioni realizzate dal Docente ed ai materiali didattici pubblicati in piattaforma, è obbligatorio lo studio dei seguenti testi:
Previo appuntamento (s.viaggiu@unimarconi.it)